• Die Idee der Projektion: Wie wir Näherungslösungen aus speziellen Unterräumen – den Krylov-Unterräumen – extrahieren, um die Lösung riesiger Systeme effizient anzunähern
• Der Arnoldi-Prozess: Die mathematische Eleganz, mit der wir eine orthonormale Basis für diese Unterräume konstruieren
• GMRES (Generalized Minimal Residual): Der universelle Löser für allgemeine Matrizen. Wir besprechen, wie das Residuum Schritt für Schritt über eine Hessenberg-Matrix und Givens-Rotationen minimiert wird
• CG (Conjugate Gradient): Das hocheffiziente Pendant für symmetrische, positiv definite Matrizen. Wir erklären die Bedeutung der A-Orthogonalität (Konjugiertheit) der Suchrichtungen und warum dieses Verfahren so rasant konvergiert
• Performance-Sprung: Warum diese Verfahren klassischen Iterationen wie Jacobi oder Gauß-Seidel in puncto Geschwindigkeit und Stabilität haushoch überlegen sind

• Die Grenzen der Direktheit: Warum der Rechenaufwand von O(n3) bei dünnbesetzten Matrizen (Sparse Matrices) in der Praxis – etwa in der CFD – nicht mehr tragbar ist
• Das Prinzip des Matrix-Splittings: Die mathematische Zerlegung A=M−N, die es uns erlaubt, ein LGS in eine Fixpunktiteration zu überführen
• Die Klassiker der Iteration:
  • Jacobi-Verfahren (Gesamtschrittverfahren): Die Idee, jede Gleichung isoliert nach einer Unbekannten aufzulösen
  • Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschrittverfahren): Die Effizienzsteigerung durch die sofortige Verwendung bereits aktualisierter Werte
  • SOR (Successive Over-Relaxation): Die Beschleunigung der Konvergenz durch den Relaxationsparameter ω
• Intuition der Relaxation: Wie man durch das schrittweise „Annihilieren“ des Residuums der Lösung näherkommt
• Wann kommen wir an? Die Analyse der Konvergenz über das strenge Zeilensummenkriterium (diagonale Dominanz) und die fundamentale Bedingung, dass der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner als 1 sein muss

• Die „zwei Tricks“: Nach von Neumann und Goldstine besteht das Lösen nicht mehr aus einem einzigen Prozess, sondern aus der Faktorisierung A=LR und der anschließenden Vorwärts- und Rückwärtssubstitution
• LU-Zerlegung: Wir besprechen die Eindeutigkeit der normierten Dreieckszerlegung und warum sie das theoretische Fundament für fast alle direkten Löser bildet
• Cholesky-Verfahren: Für symmetrische, positiv definite Matrizen (s.p.d.) zeigen wir, wie man durch Ausnutzung der Symmetrie den Rechenaufwand halbiert (A=LLT)
• QR-Zerlegung – Der Goldstandard: Wir führen unitäre (orthogonale) Matrizen ein. Sie erfahren, warum Verfahren wie Householder-Reflexionen, Givens-Rotationen oder das modifizierte Gram-Schmidt-Verfahren in puncto numerischer Stabilität unschlagbar sind
• Der „Nullte Hauptsatz der Numerik“: Wir thematisieren, warum die Numerik bereits Probleme bekommt, wenn die Theorie nur „nah an der Null“ ist

• Systematische Elimination: Der Übergang von der intuitiven Handarbeit zur algorithmischen Transformation in die Dreiecksform
• Die „eierlegende Wollmilchsau“: Warum das Gauß-Verfahren universell für Systeme beliebiger Größe und Form einsetzbar ist
• Numerische Stabilität und Pivots: Warum wir nicht einfach blind eliminieren dürfen, sondern Spaltenpivotisierung benötigen, um durch die Wahl des betragsmäßig größten Elements (Pivot) die Genauigkeit am Computer zu sichern
• Analyse von Sonderfällen: Was uns „Nullzeilen“ oder widersprüchliche Gleichungen über die Lösbarkeit (unlösbar vs. unendlich viele Lösungen) verraten

• Warum LGS? Die Notwendigkeit von Systemen in Technik und Alltag
• Das Schokoriegel-Beispiel: Intuitive Lösung mittels Einsetzungsverfahren nach dem „Klartext“-Prinzip von Walz
• Mathematische Definition: Was macht ein System eigentlich „linear“?
• Speichereffizienz: Wie der Computer Matrizen (z. B. im Column-major order) ablegt, um Level-3-BLAS-Operationen optimal zu nutzen

• Gebietszerlegung (Domain Decomposition)

• Parallelisierungs-Frameworks: MPI für Cluster, OpenMP für Multi-Core und CUDA für GPUs
• Skalierbarkeit und Engpässe in der modernen Simulationstechnik

Du lernst, wie du deinen Code fit machst für die leistungsfähigsten Rechner der Welt!

• Strukturierte vs. unstrukturierte Gitteralgorithmen

• Metriken für die Gitterqualität: Aspektverhältnis, Schiefe und Orthogonalität
• Gitterkonvergenzstudien: Wie fein ist fein genug?

Du lernst, warum das Netz oft wichtiger ist als das Modell selbst!

• Hybride RANS-LES-Verfahren (DES, SAS, DDES, IDDES)
• Wandmodellierte LES (WMLES) für Grenzschichten
• Ausblick: Wie Künstliche Intelligenz und Machine Learning die CFD verändern

Du lernst, die neuesten Strategien, um Präzision und Geschwindigkeit zu vereinen!

• Die Reynolds-Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen

• Physik der Reynolds-Spannungen und das Schließungsproblem
• Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Erstellung eines eigenen RANS-Solvers

Du lernst, das Handwerkszeug für die am häufigsten eingesetzte Turbulenzmodellierung!

• Das Prinzip der Filterung in der LES

• Vom klassischen Smagorinsky-Modell zu modernen Subgrid-Scale-Modellen
• Einordnung: Wo steht LES zwischen DNS und RANS?

Du lernst, wie du komplexe turbulente Strukturen mit vertretbarem Aufwand simulieren kannst!

• Physikalischer und mathematischer Ursprung der Turbulenz

• Das Konzept der Energiekaskade
• DNS: Warum das Auflösen aller Wirbel so extrem rechenintensiv ist

Du lernst, warum DNS der Goldstandard der Genauigkeit ist, aber oft an Rechenkapazitäten scheitert!

• Herausforderungen der Druck-Geschwindigkeits-Kopplung

• Algorithmen wie SIMPLE, PISO oder druckbasierte vs. dichte-basierte Solver
• Thermodynamische Effekte in kompressiblen Medien

Du lernst, die spezifischen algorithmischen Strategien für verschiedene Stoffeigenschaften!

• Dirichlet-, Neumann- und Robin-Randbedingungen

• Implementierung von Wänden, Einlässen und Auslässen
• Herausforderung: Offene Ränder ohne künstliche Reflexionen

Du lernst, wie du physikalisch korrekte Grenzen für dein Simulationsgebiet definierst!

• Kombination von räumlicher Diskretisierung und Zeitintegration
• Analyse von Fehlern: Dissipation vs. Dispersion
• Vergleich der Schemata für verschiedene Strömungsszenarien

Du lernst, wie du das passende numerische Schema für deine spezifische Fragestellung auswählst!

• Iterative Löser und Krylov-Unterraum-Verfahren
• Matrix-freie Methoden für maximale Effizienz
• Mehrgittermethoden (Multigrid) und Vorkonditionierung (Preconditioning) zur Beschleunigung der Konvergenz

Du lernst, die algorithmischen Werkzeuge, die CFD-Simulationen erst praxistauglich zu machen!

• Vor- und Nachteile von expliziten und impliziten Schemata
• Die CFL-Zahl (Courant-Friedrichs-Lewy) und ihre Bedeutung für die Stabilität
• Strategien zur Gewährleistung numerischer Stabilität in deinem Solver

Du lernst, wie du verhinderst, dass deine Simulation „explodiert“ und wie du den optimalen Zeitschritt wählst!

• Einführung in die Finite-Differenzen-Methode (FDM) und die Finite-Volumen-Methode (FVM)
• Grundlagen der Zeitintegration: Explizite vs. implizite Verfahren
• Vom Differential zum algebraischen Gleichungssystem

Du lernst, den Bauplan, um physikalische Phänomene in einen Algorithmus zu überführen!

• Mathematische Klassifizierung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs)
• Physikalische Repräsentation: Advektion vs. Diffusion
• Warum die Kenntnis des Gleichungstyps entscheidend für die Wahl des Lösungsverfahrens ist

Du lernst, die physikalische Intuition hinter den Formeln, um Simulationsergebnisse kritisch hinterfragen zu können!

• Physikalische Prinzipien: Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) und Impulserhaltung
• Die Rolle des Drucks und der Zähigkeit (Viskosität)
• Mathematische Annahmen und Vereinfachungen bei der Modellierung

Du lernst, wie aus universellen Naturgesetzen ein geschlossenes System von partiellen Differentialgleichungen wird, das die Basis für jeden CFD-Code bildet!